https://www.bilibili.com/video/av6731067
使用 katex 来规范公式的书写，比起 mathjax 和 latex 功能略少，要求公式的语法更为严格，但是渲染速度更快：
https://katex.org/docs/supported.html
以后写数学公式要多多参考这个网页，谢谢人类世界，提供了这么多免费的东西。
向量是什么？
物理空间中的向量；ai 中的数组（可以是任何东西，可以说 ai 中的向量是最抽像的东西）；数学中的向量，起始点是原点。数学上为了把向量和点分开，用中括号竖着写，这只是一种惯用写法而已。惯用写法也很重要，因为惯用写法就是历史，数学中的历史同样重要。同意我的观点吗？
向量相加用物理来看很直观，就是各个方向直接相加。数乘向量的本质是缩放。
线性组合，张成的空间与基
这一章很好理解，没必要很深入的去看这个问题。用终点来代表向量。张成的空间就是全部的缩放形成的空间。线性无关。
那么根据视频的内容得到了基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集。
矩阵与线性变换
matrix 和线性变换（liner transformation）是什么关系？
变换是函数的一种花哨的说法。线性变换就是对一个向量变换得到另一个向量。 \(L\) 就是一个线性变换了。变换暗示用运动来思考。什么是线性变换，就是变换之后直线必须是直线，不能够弯曲，二是原点保持固定。
把空间压弯了的变换不是线性变换。我喜欢用美国人的方法来学习数学。原点移动了，线还是直的那么不叫性线变换，叫仿射变换。
网络线保持平行且等矩分布，这种就叫做线性变换。
什么是矩阵呢，就是竖着看两个向量写在一起，分别表示 i-hat 和 y-hat 两个做过了线性变换之后的两个向量。称之为 transformed i-hat 和 tranformed y-hat。
那么就得到了矩阵和向量乘法的公式了。矩阵可以理解成对标准空间的一种变换。将矩阵看成是空间的变换之后，后面的内容都更好理解。
矩阵乘法和线性变换组合
据我的经验，如果丢掉矩阵的话，那些涉及矩阵的证明可以缩短一半。 ——埃米尔·阿廷
shear，剪切，用推移来翻译更为贴切。就是这个意思。
\[ \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right](\left[\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right])=\left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] \]
分别称为 Shear（推移），Rotation（旋转），Composition（复合矩阵）。函数从右往左来读。矩阵乘法也是如此，就是说，没有一丝，希伯来语矩阵乘法不具有交互律。矩阵乘法具有结合律。为啥呢？因为三个变换是同样的顺序，完全没有一丝的改变。这就是理解其几何意义的精妙所在。
为什么要学，拉丁文、古希腊文与古典希伯来文。这是一套开源代码，古人的知慧记录在这里。人生的智慧是有限的，古人的智慧可以对一个人来说是无限的，那么。多看看，多学一学。人的一辈子，可以有很多的收获。
矩阵的乘法是数乘的推广，不是看这个本质的课程的话还真是理解不了为什么这样做。这样做的目的是将一个不会的东西转换成会的东西，而用会的东西做普适性的推广让自己可以利用新的工具更简单的做好。
三维空间中的线性变换
一句话就是与两维的类似。
行列式
计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义。 ——理查德·哈明
刷新了我的认知，下面的意思是一个变换会让行列式的面积变大为原来的多少倍。行列式是面积的系数，很好的理解。
\[ \det\Big(\left[\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right]\Big)=6 \]
如果一个行列式的值为 0，意味着他将整个平面压缩到了一条线上，甚至是一个点上。空间定向改变的话，行列式的值会变为负值。
用一句话解释： \(det(M_{1}M_{2})=det(M_{1})det(M_{2})\) ，从面积变化的角度来讲，此式显然成立。这就是数学几何解释的意义所在。
逆矩阵，列空间与堆零向量
提出正确的问题比回答它更难。 ——格奥尔格·康托尔
以线性变换的眼光来看：逆矩阵，列空间，秩和零空间这四个概念。
\(A^{-1}A\) ，\(A^{-1}\) 是逆变换，inverse transformation。就是说结果是\[ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \] ，现在的理解就很清楚了。
只要 \(det(A) \neq 0\) ，则 \(A^{-1}\) exists。如果 \(det(A)=0\)，那么就会压缩成一条线，你不能将一条线解压缩成一个平面。
当变换的结果是一条线的时候，就说秩为一；如果变为的结果落在某个平面，则称秩为 2。
所有可能的变换结果的集合称之为列空间。
秩的定义：列空间的维数。秩达到最大值时，意味着秩与列数相等。称之为满秩。
变换后的一些向量落在零向量上，“零空间”正是这些向量所构成的空间。Null Space 和 kernel。就是说 \(T(v)=0\) 的向量 \(v\) 的集合。零空间和核是一个概念。
非方阵
什么是非方阵，比如将一个二维的向量映射为一个三维的向量。那么这个变换对应的就是一个非方阵。
点积与对偶性
点积就是对应相乘并相加。点积几何上是投影的面积，且点积满足交换率。
下面来讲一下“对偶性”（duality）。什么是所谓的对偶性呢？两个向量点乘就是将其中一个向量转换为线性变换。选择这两个中的任何一个都是可以的，这就是对偶性。
“对偶"这个词的含义取决于具体的上下文，常常用于描述两个相关但又相对的概念、结构或者关系。
叉积的标准介绍
“每一个维度都很特别。” ——杰佛里·拉加里亚斯
叉积是两个向量围成的面积。逆时针的相乘为正，叉积有顺序的区别。叉积的值也正是 det 将两个向量合为一个矩阵的值。叉积的结果扔然是一个向量，这个向量的长度是平行四边形的面积。方向由右手法则来表示。 \({\hat{v}} \times {\hat{w}} = \hat{p}\) 右手食指指向 \(\hat{v}\) ，中指指向 \(\hat{w}\) ，大拇指的方向就是结果的向。
\[ \left[\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix}\right]=det(\left[\begin{matrix} \hat{i} & v_{1} & w_{1} \\ \hat{j} & v_{2} & w_{2} \\ \hat{k} & v_{3} & w_{3} \end{matrix}\right]) \]
也就是下面的：
\[ {\hat{i}}(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2})+{\hat{j}}(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3})+{\hat{k}}(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}) \]
那么叉积的意义到底是什么呢？其实看完这里还是想的不是很明白。
以线性变换的眼光看叉积
从他（格罗滕迪克）和他的作为中，我还学到一点：不以高难度的证明为傲，因为难度高意味着我们还不理解。理想的情况是能绘出一符美景，而其中的证明显然易见。 ——皮埃尔·德里涅
没有真正理解问题的我最好的做法就是反复抄一下
Dual vector，对偶向量，（从空间）到数轴的线性变换。dot product and cross product。
这一节的内空就看不懂了。
https://blog.csdn.net/nbl97/article/details/80582027
如果实在看不懂就反复看。
一点历史的小故事
牛顿是炼金术士，而不是一个基督徒。
约翰伯努力是德国人，当然支持莱布尼茨，这一点毫无疑惑。
他的哥哥，雅各布·伯努力，爱提问题。儿孙均是数学研究者。约翰伯努力的另一个学生是洛必达，是那个买论文的大富豪。
是瑞士人。瑞士被法国，德国，意大利三面围着，是个科学文化非常繁荣的地方。
瑞士人都以欧拉为荣。要想得到无上荣光，必付出无上代价。
https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95
欧拉的变分法，我真的是看不懂啊。历史上任何一个关键的问题，被一个没有深入研究的人很快理解都是不可能的。
法国贵族。有的人一出生便什么都有。他还有一个徒弟是傅立叶。
法国人。
柯西被称为最不可爱的数学家。间接导致了阿贝尔的死亡，埋没数学家伽罗瓦。剽窃弗拉德米尔·斯图普尼斯基长达四卷的著作。
牛顿的徒子徒孙名声不显：https://www.zhihu.com/question/45437802/answer/102310081 ，但是是有的，没有消失。
高斯是约翰·马丁·巴特尔斯的徒弟。高斯属于自己聪明，自学成才的人。高斯的徒弟是狄立克雷，狄立克雷的徒弟是黎曼。高斯的这一个分支也很厉害。这几个都是德国人。另外希尔伯特也是德国人，那么
当你学习数学到达一定的时间，顺着数学历史的长河慢慢前进，走过古希腊启智时期，走过古代中国辉煌时期，经过欧洲中世纪黑暗的峡谷，暗河，继续往前走，我们乘坐的小舟来到公园 16、17 世纪，你会发现水面忽然开阔起来，无数支流汇聚到一处，融成了一条浩荡的大河。沿岸雄伟的山峰一座接一座，数不胜数，这便到了天才的时代。可能最高的几个山峰你认得，这座郁郁葱葱，高耸入云，叫做牛顿；另一座景秀清奇，峰峦雄伟，是高斯，第三座高山流水白练腾空，唤作欧拉。另外一些同样雄伟层峦叠嶂高山深涧在一起的，他们是韦达、梅森、笛卡尔、费马、帕斯卡、达朗贝尔、拉格朗日、泊松、傅里叶、拉普拉斯，柯西…巴黎是世界上数学家最集中的地方，而在历史上也有很多著名的法国数学家。在微积分领域，长长的数学家表上法国人的名字占了几乎 1/3。法国人对于数学界的贡献由此可见一斑，从初中数学的韦达定理，到高数代表人物拉格朗日，甚至近代大师庞加莱等，几百年，在法兰西这片浪漫的土地上，数学一直保持着旺盛的生命力。
法国美国是最强的。德国英国稍逊，中国擅长计算，不重视基础和理论。
https://www.zhihu.com/question/23992127
https://www.zhihu.com/question/26465826/answer/255724890
1、一个小故事，一次小学数学竞赛里，问 4*20+10+9=？法国小盆友最先抢答：等于 4*20+10+9。法语中没有 99 这个单词，基本计数 20 进制，99 日常这么表示（学法语的同学真是辛苦），另外去法国撩妹千万不要问电话号码，法国人念电话号码不像我们习惯一个数一个数地念。比如 61718098，法国人不是念成 6-1-7-1-8-0-9-8，而是两位两位地念 61-71-80-98。听好了： 60+1，60+11，4x20，4x20+10+8。听法国人说电话号码，你刚记了一个 4，后面突然冒出来个 20，所以得赶紧把 4 涂了，改成 80，精神始终处于准亢奋状态。”这个是根植在基础文化日常生活中的（开个玩笑，这个应该不是法国数学厉害的原因）。
2、你听说法国人数学很好，去问一个幼儿园的法国小盆友：小帅哥，2+3 等于多少呀？小盆友奶声奶气的回答，这个我不知道，但是我知道 2+3=3+2，因为加法构成一个阿尔贝群（阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。黑人问号脸哈哈，故事夸张，但在基础教育阶段，法国确实喜欢讲一些很理论的东西，小学就应该学一些零散数学的基本知识嘛）。
数学是高深的东西，但也从来不是什么不可理解的东西。也许学习数学需要天赋，但是，陪养数学的兴趣一定能让人受益终生。
法国的数学一直很强。中国为啥一直就不行呢？
https://www.zhihu.com/question/538822296
也许终于有一天，中国的数学成就会达到世界的先进水平。世界上的数学史不过才 300 年而已。但是 300 年的时间会产生很多非常的天分的人。要了解他们的思想，学会他们的思维的精华是很难的。
数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好。要理解自己的难处，我是没有时间和天赋来做数学的。一方面是培养下一代。一方面是做好本职工作。本职工作是需要一点数学的，学不完所有的数学知识，我甚至连基础部分都不能学的完，理解的很深刻。
我能做的事就是把尽量多的时间花在有意义的事上，减少娱乐和躺平的时间。做出成果的人在兴趣和专业上一定是勤奋的。勤奋的人才有资格抱怨命运的不公。我没资格，首先入场券“勤奋”要拿到手。珍惜命运，珍惜时间。
基变换
数学是一门赋于不同事物相同名称的艺术。 ——昂利·庞加莱
对空间网格的定义可以是不同的。
不同的定义之间如何转化？
只需要左乘一下就可以把别人的向量坐标转化成我们的向量坐标了。或者两边同时左乘 \(A^{-1}\) 就可以用我们的坐标计算出别人的坐标了。
90 度的 rotation，逆时针的。 坐标的转换有了，还需要理解矩阵的转换。 用 \(A^{-1}MA\) 来描述就可以了。
特征向量与特征值
\(det(A-I)=0\) ，特征向量与对角化。这里也是理解的不够清楚。
抽象向量空间
这些公理，同其他动机不明的定义一起，让门外汉难以掌握数学。它们主要通过这样的方式协助数学家，从而提升数学的权威性。 ——弗拉基米尔·阿诺尔德
一个函数的变换是线性的是什么意思？同样是可加性和成比例。保持向量的加法运算和乘法运算。
向量可以是任何东西，是什么根本不重要，只要遵守可加性和成比例性即可。普适的代价是抽象。
克来姆法则
这个法则就是求解方程组。
问了一下 chat GPT 3.5，他告诉我这个答案：
学习数学重要的公式到底用不用学会证明的方法？
学习数学时，了解和记忆重要的公式是非常重要的，因为这些公式往往是解决问题的关键。然而，是否需要学会证明这些公式则取决于你所处的学习阶段和学习目标。
初级阶段：在学习数学的初级阶段，重点应该放在理解和掌握基本的公式和定理上，而不是花费大量时间去学习证明。这个阶段的学习重点是建立数学基础，培养数学思维。
高级阶段：随着学习的深入，特别是在进入大学或者深入研究数学的阶段，学会证明数学公式和定理变得更加重要。这有助于深入理解数学原理，提高逻辑推理能力，并且为进一步的学术研究和应用打下坚实的基础。
个人兴趣：如果你对数学本身很感兴趣，学会证明数学公式可能会成为一种乐趣和挑战。这可以帮助你更深入地理解数学，享受证明的乐趣，并培养逻辑思维能力。
总的来说，学会证明数学公式的重要性取决于你的学习目标和个人兴趣。在初级阶段，重点应该放在理解和应用公式上；而在更高级的阶段，学会证明数学公式可以帮助你建立更深刻的数学理解。
兴趣上我是想理解清楚一些本质的问题的，但是熟练度上，我不理解一些问题，没有做过足够的训练。
对这个世界，我只是模模糊糊的知道一点东西，想要了解的清晰，你是要花时间的。没花很多时间之间，请别报怨为啥这些问题这么难，这么绕。绕可能仅仅是因为你的功课没做到位，实际它就是那个东西。从来不是你之前认为的那样。