从 2021 年李永乐的 148 页开始，多元函数的微积分学比较复杂，之前上大学的时候就学的比较浅。要掌握的话要做更多的练习。

多元函数的极限、连续、偏导数与全微分

• 多元函数

  • 二元函数的概念
  • 二元函数的几何意义

• 二元函数的极限与连续

  • 重极限的函数（用距离定义）
  • 二元函数连续的概念
  • 连续函数的性质

• 二元函数的偏导数与全微分

  • 偏导数的概念
  • 偏导数的几何意义
  • 全微分的概念
  • 可微的必要条件
  • 可微的充分条件
  • 多元函数连续、可导、可微之间的关系（注意可导只是在轴方向而不是全方向，而可微也是“重极限”定义的，对重极限的理解公式非常重要）

例题

• 讨论二重极限

  • 证明二重极限不存在
  • 求二重极限

• 讨论二元函数的连续性、偏导数存在性

• 讨论二元函数的可微性

多元函数微分法

• 复合函数的偏导数与全微分

  • 复合函数求导法则（多元函数与多元函数的复合像是空间向量的和运算）
  • 全微分形式不变性
  • 高阶偏导数及混合偏导数与求导次序无关问题
    • 高阶偏导数概念
    • 混合偏导数与求导次序无关问题

• 隐函数的偏导数与全微分

  • 由一个方程式确定的隐函数（一元函数）求导法
  • 由一个方程式确定的隐函数（二元函数）求导法

例题分析

• 求复合函数的全导数与全微分
  • 求绐出具体表达式函数的偏导数与全微分
  • 求含有抽象函数的偏导数与全微分
• 求隐函数的偏导数与全微分
  • 由一个方程所确定的隐函数与全微分

极值与最值

• 无条件极值

  • 多元函数极值和极值点的定义
  • 多元函数驻点的定义
  • 多元函数取得极值点的必要条件
  • 二元函数取得极值的充分条件（通过 \(AC-B^{2}\) 这个条件来判断， \(A,B,C\) 为不同的二阶偏导数）

• 条件极值

  • 函数 \(f(x,y)\) 在条件 \(\phi(x,y)=0\) 下的极值的必要条件（用 \(\lambda\) 来构造函数）
  • 函数 \(f(x,y,z)\) 在条件 \((\phi(x,y,z)=0,\psi(x,y,z)=0\) 下极值的必要条件

例题分析

• 无条件极值问题
• 条件极值（最值）问题
• 多元函数的最大（小）值问题

二重积分

• 二重积分的定义及几何意义

  • 二重积分定义（任何数学上的定义都是十分精确的）
  • 二重积分的几何意义定义

• 二重积分的性质

  • 比较定理
  • 估值定理
  • 中值定理

• 二重积分的计算

  • 在直角从标系下计算
  • 在极从标下计算
  • 利用对称性和奇计算

例题分析

• 计算二重积分
• 累次积分交换积分次序计算
• 与二重积分有关的综合题
• 与二重积分有关的积分不等式问题