第三章是一元函数积分学
不定积分与定积分的概念、性质、理论
定义
- 原函数与不定积分
- 定积分
重要性质、定理、公式
- 定积分存在定理
- 原函数存在定理
例题分析
- 分段函数的不定积分与定积分
- 定积分与原函数的存在性
- 奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分
不定积分与定积分的计算
- 基本积分公式
- 基本积分方法
- 不定积分的凑微分求积分法（也称第一换元法）
- 不定积分的换元积分法（也称第二换元法）
- 常见几种典型类型的换元法
- 定积分的换元积分法
- 不定积分与定积分的分部积分法
- 常见的用分部积分的几种题型
- 几个十分有用的定积分公式
例题
- 简单有理分式的积分
- 三角函数有理分式的积分
- 简单无理式的积分
- 两种不同类型的函数相乘的积分
- 被积函数中含有导数或变限函数的积分
- 对称区间上的定积分，周期函数的定积分
- 含参变量带绝对值的定积分
- 积分计算杂例
反常积分及其计算
定义
- 无穷区间上的反常积分
- 无界函数的反常积分
重要性质、定理、公式
- 两类反常积分的识别
- 对称区间上奇、偶函数的反常积分
一个重要的反常积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=2\int_{0}^{ +\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}\)
例题
- 反常积分的计算与反常积分的敛散性
- 关于奇、偶函数的反常积分
定积分的应用
基本方法
- \(f(x)\) 为常数时， \(F=f\cdot(b-a)\)
- \(F=\int_{a}^{b}f(x)dx\)
重要几何公式与物理应用
- 平面图形面积
- 直角坐标的求法
- 极坐标的求法
- 平面曲线的弧长
- 旋转体的体积
- 旋转曲面的面积
- 在区间 \([a, b]\) 上平行截面面积 \(A(x)\) 为已知的立体体积
- 函数的平均值
- 物理应用公式的建立原则
- 平面图形面积
例题
- 几何应用（微元法）
- 物理应用
定积分的证明题
- 讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等
- 由积分定义的函数求极限
- 积分不等式的证明
- 零点问题
最后讲讲数学二不考的内容
1、三重积分、曲线曲面积分
2、级数
3、欧拉方程，数学三经济类应用
4、空间解析几何
5、线代的空间向量
6、概率论，这部分数二是没有了，但是 AI 的研究生放在专业课当中考了