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考研数学二第二章

一元函数微分学

导数与微分,导数的计算

  • 定义

    • 导数
    • 左右导数
    • 函数的微分(即 \(\Delta y\))
    • 高阶导数(即斜率的斜率的斜率 … )
  • 重要性质、定理、公式

    • 重要性质、定理
      • 可导是连续的充分不必要条件
      • 可导即 \(f_{-}^{\prime}(x_{0})=f_{+ }^{\prime}(x_{0})=f’(x_{0})\) ,在闭区间 \([a, b]\) 端点处的导数是指 \(f’_{+}(a)\) 及 \(f’_{-}(b)\)
      • 导数的几何意义即斜率
      • 可导与可微的关系,可导是可微的充要条件
      • 函数的微分与函数的增量之间的关系 \(\Delta y=f’(x_{0})\Delta x + o(\Delta x)\) , 若在 \(x_{0}\) 的某区间内丰在二阶导数,有 \(\Delta y - dy=\frac12 f’’(\xi)(\Delta x)^{2}\) ,其中 \(\xi\) 介于 \(x_{0}\) 与 \(x_{0} + \Delta x\) 之间。
    • 重要公式
      • 常见导数(微分)运算法则(四则运算与求导求微分,嵌套函数求导)公式
      • 变限积分求导公式
      • n 阶导数运算法则
      • 几个常见的初等函数的 n 阶导数公式
      • 参数式确定的函数的导数公式
      • 隐函数求导法则
      • 幂指函数的求导法则与公式
      • 反函数的一阶及二阶导数公式,反函数的一阶导数 \(\phi’(y)=\frac{1}{f’(x)}\) 二阶导数为:\(\phi^{\prime\prime}(y)=-\frac{f^{\prime\prime}(x)}{(f^{\prime}(x))^{3}}\)

自己补充

  • 反函数的二阶导数推导过程:

\[ \begin{aligned} & x^{\prime\prime}_{yy}=\frac{d^{2}x}{dy^{2}} \\ & y^{\prime\prime}_{xx}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \\ & x^{\prime}_{y}=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y’_{x}} \\ & y^{\prime}x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{\prime}_{y}} \\ & \frac{\frac{1}{y^{\prime}_{x}}}{dx}=(\frac{1}{y’_{x}})’_{x}=-\frac{y’’_{xx}}{(y’_{x})^{2}} \end{aligned} \]

由上面的几式可得: \[x’’_{yy}=\frac{x^{\prime}_{y}}{dy}=\frac{x^{\prime}y}{dx}\cdot\frac{dx}{dy}=\frac{\frac{1}{y^{\prime}_{x}}}{dx}\cdot\frac{1}{y^{\prime}_{x}}=-\frac{y^{\prime\prime}_{xx}}{(y^{\prime}_{x})^{3}}\]

  • 求导公式

第二遍加上。

例题分析

  • 按定义求一点处的导数
  • 已知某点在 \(x=x_{0}\) 处可导,求有关的某极限或其中某参数;或已知某极限,求 \(f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处的导数
  • 绝对值函数的导数
  • 由极限式表示的函数的可导性
  • 导数与微分、增量的关系
  • 求导数的计算题

导数的应用

  • 定义

    • 极值
    • 最值
    • 曲线的凹凸性
    • 曲线的拐点
  • 重要的性质、定理、公式、方法

    • 极值与单调性的判定
      • 单调性的判定 \(f’(x) \geq 0\) 在区间上 \(I\) 上恒成立,则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上是单调递增的。
      • 可导处极值的必要条件,若 \(f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处为极值,且 \(f’(x_{0})\) 存在;则 \(f’(x_{0})=0\)
      • 极值的第一充分条件(通俗来说就是左右极值有变化,且连续,去心邻域内可导)
      • 极值的第二充分条件(不精确的说就是 \(f’’(x_{0}) < 0\) ,为极大值;反之为极小值)
    • 凹凸性与拐点的判定
      • 凹凸性的判定,设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上 \(f’’(x)\geq 0\) ,且不在任一子区间上取等号,则为凹的;反之为凸的。
      • 二阶可导处是拐点的必要条件: \(f’’(x)=0\)
      • 拐点的充分条件: \(x=x_{0}\) 的左右邻域 \(f’’(x)\) 反号
    • 闭区间上连续函数最大值的最大值,最小值求法(这个高中就学过了)
    • 应用问题的最值求法
    • 渐进线的求法
      • 水平渐进线
      • 铅直渐进线
      • 斜渐进线
    • 曲率、曲率圆与曲率半径 \(k=\frac{|y’’|}{(1+y’^{2})^{3/2}}\) 另外 \(R=\frac1k\)

例题分析

  • 增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论
  • 渐近线
  • 曲率与曲率圆
  • 最大值最小值问题

中值定理

  • 重要定理

    • 费马定理
    • 罗尔定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 柯西中值定理
    • 泰勒定理
  • 重要方法

    • 不等式证明
      • 用单调性证的方法
      • 用最值证的方法
      • 用拉格朗日中值公式证的方法
      • 用柯西中值公式证的方法
      • 用拉格朗日余项泰勒公式证的方法
    • 零点问题存在性的证明方法
      • 由连续函数介值定理
      • 由罗尔定理
        • 导函数的零点的存在性
    • 至多有几个零点的证明方法
      • 到多有几个零点

例题分析

  • 不等式的证明
  • \(f(x)\) 的零点与 \(f’(x)\) 的零点问题
  • 复合函数 \(\psi(x, f(x), f’(x))\) 的零点
  • 复合函数 \(\psi(x, f(x), f’(x), f’’(x))\) 的零点
  • 双中值问题
  • 零点的个数问题
  • 证明存在某 \(\xi\) 满足某不等式
  • 利有中值定理求极限、 \(f’(x)\) 与 \(f(x)\) 的极限关系