摸鱼备考数学二，不会有人发现的。这是是全部第一章的知识点。
这篇文章不因为方便编辑而置顶了，我的笔记后面用 emacs + nas 的 webdav 同步 org-roam 笔记。后面只有重要的难点，才发布到博客里，这样比较好一点
函数、极限、连续
函数的概念及常见的函数
函数的几种特性
- 有界性
- 单调性
- 奇偶性
- 周期性
例题
- 求反函数及复合函数的表达式
- 关于函数几种特性的讨论
极限
极限的概念
- 数列极限
- 函数极限
极限的性质
- 有界性
- 保号性
- 极限和无穷小的关系
极限存在准则
- 夹逼准则
- 单调有界准则
无穷小量
- 无穷小量的概念
- 无穷小的比较
- 无穷小的性质
无穷大量
- 无穷大的概念
- 常见的一些无穷大的比较
- 无穷大量与无界变量的关系
求极限的常用方法
- 利用有理运算法则求极限
- 利用基本极限求极限
- 利用无穷小等价替换求极限
- 利用洛必达法则求极限
- 利用泰勒公式求极限
- 利用夹逼准则求极限
- 利用定积分的定义求极限
- 利用单调有界原则求极限
例题
求函数的极限
\(\frac{0}{0}\) 型极限
- 通过恒等变形约去分子、分母中极限为零的因子，然后用极限的有理运算法则
- 用洛必达法则
- 用等价无穷小替换
- 用泰勒公式
\(\frac{\infty}{\infty}\) 型极限
- 洛必达法则
- 消去分子分母中的 \(\infty\) 因子或分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
“\(\infty - \infty\) ”型极限
- 通分化为 \(\frac00\) 适用于分式差
- 根式有理化（适用于根式差）
- 等价代换、变量代换或泰勒公式
“ \(0 \cdot \infty\)”型极限
- 化为 \(\frac00\) 型或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型
“\(1^{\infty}\)”型极限
- 凑基本极限（e）
- 改写成指数或取对数后用洛必达法则
- 公式：\(\lim \alpha(x)=0,\lim \beta(x)=\infty\) 且 \(\lim \alpha(x)\beta(x)=A\) ，则 \(\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^{A}\)
“ \(\infty^{0}\) ”和“ \(0^{0}\) ”型极限
- 以上这两种求极限的函数一定是幂指函数，即 \(\lim[f(x)]^{g(x)}\) 求解的方法是将其改写成指数形式 \(\lim[f(x)]^{g(x)}=\lim e^{g(x)\ln f(x)}\) 或取对数，均化为求 \(\lim g(x)\ln f(x)\) ，\((0\cdot\infty)\) 型再化简为 \(\frac00\) 型或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型极限。
求数列的极限
n 项和的数列极限
- 利用夹逼原理；
- 利用定积分定义 \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}\)
n 项连乘的数列极限
- 消去分子分母的公因式
- 夹逼原理
- 取对数化为 n 项和
递推关系 \(x_{1}=a\) 和 \(x_{n+1}=f(x_{n})(n=1,2,…)\) 定义的数列。
- 方法 1 先证数列 \(x_{n}\) 收敛（常用单调有界准则），然后令 \(\lim\limits_{n \to \infty}X_{n}=A\) ，等式 \(x_{n+1}=f(x_{n})\) 两端取极限得 \(A=f(A)\) ，由此求得极限 \(A\) 。
- 方法 2 先令 \(\lim\limits_{n \to \infty}x_{n}=A\) ，然后等式 \(x_{n+1}=f(x_{n})\) 两端取极限解得 \(A\) ，最后证再证明 \(\lim\limits_{n \to \infty}x_{n}=A\) 。
已知极限值求参数，或已知极限求另一极限
- 已知极限求参数
- 已知极限求另一极限
无穷小的比较
函数的连续性
连续的概念
断点及分类
连续函数的性质
例题
- 讨论函数的连续性及间断点的类型
- 有关闭区间上连续函数性质的证明题