例一：求函数 \(y=shx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\) 的反函数
此题难点，初中基础知识，韦达定理。 \(x_{1},x_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)
\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)
这种题对我来说都有难度，说明我离开数学的时间太久了。
例二：设函数
\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{aligned} & 1-2x^{2},\quad & x<-1 \\ & x^{3}, \quad & -1 \leq x \leq 2 \\ & 12x-16, \quad & x>2 \end{aligned} \right. \end{equation*}
，求它的反函数。此题无难点，直接分类讨论。但是无难点的题要做的又对又快。
上同的题就不是非常好，先做重要的题。这些题都很好，题海有了，现在的战术就是多看多做。
https://askubuntu.com/questions/687295/how-to-purge-previously-only-removed-packages
sudo apt-get purge $(dpkg -l | grep '^rc' | awk '{print $2}') # 这个命令太冒险了，用下面的
dpkg -l | grep '^rc'
dpkg -P xbyyunpan
从阿里云盘上找到了很多的 pdf ，如果看完绝对能过。这些资料这么多，从哪看起呢？
还有如果我要做三千道题，花半年也就是 180 天，那么一天要做多少道题呢？一天 20 道题，至少 10 道题，难度是很大的。
还有如果是熟练的题就没有必要看了，这可以提高学习的效率。所以时间至少还在一个可以接受的范围里面。练熟基本功。拿到基础分一样有很大的概率可以上岸。所以也不用太过担忧。
先看张宇高数 300 题
1.1 D
1.2 这道题难住我了，看答案竟然是恒等式变形解决的，晕。
\(f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^{3}}{1+x^{4}}\) ，求 \(f(x)\). 原式= \(\frac{\frac{1}{x}+x}{\frac{1}{x^{2}}+x^{2}}\) 即 \(f(x)=\frac{x}{x^{2}-2}\) ，数学有时候考点就是让人琢磨不清，以为要考换元计算，结果就是简单的恒等式变形。
1.3 已知 \(f(x)=e^{x^{2}}\) ， \(f[\varphi(x)]=1-x\) ，且 \(\varphi(x) \leq 0\) ，求 \(\varphi(x)\) 并写出它的定义域。
第一步代入， \(e^{[\varphi(x)]^{2}}=1-x\) ，得 \(\varphi(x)=\sqrt{ln(1-x)}\) ，由 \(ln(1-x) \leq 0\) 得 \(1-x \geq 1\) ，即 \(x\leq 0\) 。方法是直接代入并计算。
1.4 即最上面的李永乐的那道例题。分类讨论。
\begin{equation*} y=f^{-1}(x)=\left\{ \begin{aligned} & \sqrt\frac{1-x}{2}, & \quad x<1 \\ & \sqrt[3]{x}, & \quad -1 \leq x \leq 8 \\ & \frac{16+x}{12} & \quad 8 < x < +\infty \end{aligned} \right. \end{equation*}
这道题做错了第一个区间当中的正负号不对，y 在第一个区间是小于 0 的，所以加加一个负号啊。现在的能力确实弱爆了。
正确答案是：
\begin{equation*} y=f^{-1}(x)=\left\{ \begin{aligned} & -\sqrt\frac{1-x}{2}, \quad & x<-1 \\ & \sqrt[3]{x}, \quad & -1 \leq x \leq 8 \\ & \frac{16+x}{12} \quad & 8 < x < +\infty \end{aligned} \right. \end{equation*}
1.5 设 \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\) ， \(f_{n+1}(x)=f[f_{n}(x)](n=1,2,3,…)\) ，求 \(f_{n}(x)\) 的表达式。
这道题有什么思路吗？
没有思路，看答案才知道这道题用的是数学归纳法。也就是答案是观察出来的，观察出来之后再证明一下。
\(f_{1+1}(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\sqrt{1+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}}=\frac{x}{1+2x^{2}}\) ，用数学归纳法推理可得： \(f_{n}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+(n+1)x^{2}}} \quad (n=1,2,3,…)\)
好题，好思路。
数列极限
2.1 设 \(\lim\limits_{n \to \infty}a_{n}=0, \lim\limits_{n \to \infty}b_{n}=1\) ，则（）
这个选 B 存在正整数 N ，当 \(n>N\) 时，总有 \(a_{n}<b_{n}\)
2.2 设 \(x_{n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+…+\frac{1}{4n^{2}-1},n=1,2,…\quad\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\) （）
\(x_{n}=[\frac{1}{(2\times 1-1)(2 \times 1+1)}+\frac{1}{(2\times 2-1)(2\times 2+1)}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}]\) \(x_{n}=2(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…-\frac{1}{2n+1})\) 所以答案等于 2 。这种题真的是小学就学过。 30 多了还要学。没长进。
做错了，系数不是 2 是 \(\frac{1}{2}\) ，答案是 \(\frac{1}{2}\) 。
2.3 极限 \(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-2})^{n}\)
此题是基础极限公式的题，昨天做了一下，现在又忘记了，说明没有真正掌握。数学中的万千基础，可以认为弥补了自己不足的地方之后，就会做题了。考试是竞赛，研究是生活。
此题不会的原因是对换元法求极限部分不熟练。
\begin{equation*} \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n-2})^{n} = \lim\limits_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1-\frac{2}{n})^{n}}=\frac{e}{e^{-2}}=e^{3} \end{equation*}
此题乃是一道母题。 \(\lim\limits_{n \to \infty}(1+a \frac{1}{n})^{n}=e^{a}\) 这个成立吗？可以用换元法
令 \(t=\frac{n}{a}\) ，则原式= \(\lim\limits_{t \to \infty}(1+ \frac{1}{t})^{at}=e^{a}\) 没错就是这个简单的东西，我居然没什么印象，说明我高数学得也是不怎么样的。
2.4 求极限