特征值、特征向量
file:///home/uos/mydata/orgmode/gtd/2021李永乐复习全书【数学二】.pdf
特征值的作用：1. 简化计算 2. 数据压缩 ; 没错就是这样简单的需求
一、定义：方阵的情况， \(A\alpha=\lambda\alpha(\alpha \neq 0)\) ；
还有一个定义：即 \(|\lambda E-A|=0\) ，其中的 \(\lambda E\) 是单位的对角矩阵
二、特征值的性质
- \(\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}\) ;
- \(\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}=|A|\)
三、求特征值、特征向量的方法
方法一：求解 \(|\lambda E-A|=0\) 得到所有的 \(\lambda_{i}\) ，再代入 \((\lambda_{i}E-A)x=0\) 求得所有的特征向量
方法二：利用定义，即满足 \(A\alpha=\lambda\alpha\) 的数 \(\lambda\) 即是 A 的特征值。
相似矩阵、矩阵的相似对角化
一、相似矩阵定义：若 \(P^{-1}AP=B\) ，则 \(A\sim B\) ; 若 \(A\sim \Lambda\) （对角矩阵），则称 A 可以相似对角化。 \(\Lambda\) 是 A 的相似标准形。
二、矩阵可以相似对角化的充分必要条件
- n 阶矩阵 A 可相似对角化 \(\Leftrightarrow\) A 有 n 个线性无关的特征向量。
- \(\lambda_{1}\neq \lambda_{2}\) 是 A 的特征值 \(\Rightarrow\) A 的对应于 \(\lambda_{1}\),\(\lambda_2\) 的特征向量 \(\alpha_{1},\alpha_{2}\) 线性无关。推论：n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可相似对角化。
- \(\lambda\) 是 n 阶矩阵 A 的 \(r_{i}\) 重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数少于等于 \(r_{i}\) 个。
推论： n 阶矩阵 A 可相似对角化 \(\Leftrightarrow\) A 的每一个 \(r_{i}\) 重特征值对应的线性无关的向量个数等于该特征值的重数 \(r_{i}\) 。当 A 的 \(r_{i}\) 重特征值 \(\lambda_{i}\) 对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数 \(r_{i}\) 时，A 不能相似于对角阵。
三、相似矩阵的性质
- \(A\sim A\)
- \(A \sim B\) \(\Rightarrow\) \(B \sim A\)
- 若 \(A \sim B\) ， \(B\sim C\) \(\Rightarrow\) \(A\sim C\)
两个矩阵相似的必要条件：
\(A\sim B\) \(\Rightarrow\) \(|\lambda E -A|=|\lambda E -B|\)
\(r(A)=r(B)\)
A , B 有相同的特征值；
\(|A|=|B|=\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\)
\(\prod\limits_{i=1}^{n}a_{ii}=\prod\limits_{i=1}^{n}b_{ii}=\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\) ，即 \(trA = trB = tr\Lambda\)
此处很难理解，矩阵的左乘，右乘，证明，很容易看晕。反复看吧。
实对称矩阵的相似对角化
一、什么是实对称阵？即 \(\Leftrightarrow\) \(A^T=A\) ，且 \(\bar{A}=A\)
二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化
定理：实对称矩阵的特征值全部是实数
定理：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交
定理：实对称矩阵必相似于对角阵。即：\(Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda\)
三、实对称矩阵相似对角化的步骤
- 解特征方程，求得全部特征值（均为实数，去除复数）
- 求基础解系
- 将每个属于 \(\lambda_{i}\) 的特征向量 \(\alpha_{i1},\alpha_{i2},…,\alpha_{ik}\) 正交化。正交后的向量组记成 \(\beta_{i1},\beta_{i2},…,\beta_{ik_{i}}\) 。
- 将全部特征向量单位化
- 将 n 个单位正交特征向量合并成正交矩阵。
此处不好理解，要多做题。