克拉默法则
方程的求解
线性方程组就是矩阵乘法。两者研究的问题完全等效。矩阵 A ，对应的行列式 D ，当 \(D\neq 0\) 时，A 可逆（说的是方阵）。
\(x=A^{-1}b=\frac{1}{D}A^{*}b\) ，此乃求方程组的公式，不知道我之前为啥就没有理解到这一层的东西。后知后觉。
\(x_{i}=\frac{|A_{i}|}{|A|},i=1,2,…,n\) ，其中 $|Ai| 是 \(|A|\) 中的第 i 列元素替换成 b 列向量。
附记：
“克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于 1750 年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为 O（n·n！）。”
参考：https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/99889327
齐次线性方程组
一、表达形式：就是右面全是 0 。
二、什么是齐次线性方程组的解：略
三、齐次线性方程组的基础解系：若 \(\xi_{1},\xi_{2},…,\xi_{n-r}\) 线性无关；\(Ax=0\) 的任一解向量 \(\xi\) 均可由 \(\xi_{1},\xi_{2},…,\xi_{n-r}\) 线性表出，则称那组向量为基础解系。
四、\(Ax=0\) 解的性质：两个解向量的线性组合仍是解
五、\(Ax=0\) 的有解条件（可以不是方阵）：
- 齐次线性方程一定有解，至少有 0 解。
- 只有 0 解，则 \(a_{1},a_{2},…,a_{n}\) 线性无关；否则向量组线性相关。
六、基础解系向量个数与 \(r(A)\) 的关系
若 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(r(A)=r <n\) ，则齐次线性方程 \(Ax=0\) 存在基础解系，且基础解系有 \(n - r\) 个线性无关解向量组成。即：基础解系向量个数 + r(A)=n （未知数个数）
系数矩阵的秩数 < 增广矩阵的秩数，则无解。
七、\(Ax=0\) 的通解：\(k_{1}\xi_{1}+k_{2}\xi_{2}+…+k_{n-r}\xi_{n-r}\)
八、基础解系和通解的求法：
利用初等行变换不改变线性方程组的解，将 A 初等行变换化成阶梯形矩阵。
阶梯方程的每行中的第一个系数不为零的 r 个未知量 \(x_{1},x_{2},…,x_{n}\) 称为独立未知量；而后面的 \(n-r\) 个未知量 \(x_{r+1},…,x_{n}\) 称之为自由未知量。
齐次方程阶梯型的求法：
参考：https://blog.51cto.com/u_15080860/6075403
非齐次线性方程组
一、非齐次方程的表达形式：即右则不为 0 。
二、非齐次方程的解（解都竖着写，用列向量表示）
三、非齐次方程 \(Ax=b\) 解的性质：
设 \(\eta_{1},\eta_{2}\) 是非齐次方程的解，\(\xi\) 是非齐次方程的解，则有
\(A(\eta_{1}-\eta_{2})=0\)
\(A(\eta_{1}+k\xi)=b\)
四、\(Ax=b\) 的有解条件
无解： \(r(A)\neq r(A|b)\) \((r(A)+1=r(A|b))\) ，b 不能由 A 的列向量线性表出
有解： \(r(A)=r(A|b)\) ，b 可由 A 的列向量组线性表出， \(\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\} \cong \{a_{1},a_{2},…,a_{n},b\}\)
有唯一解：\(r(A)=n\) ，向量组 A 线性无关，增广矩阵线性相关，b 可以由向量组 A 线性表出。
有无穷多解：\(r(A)=r(A|b)=r<n\)
五、非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 通解的求法
与求非齐次类似，增广矩阵化成阶梯型。用高斯消元法，将增广矩阵 \((A|b)\) 作初等行变化成阶梯矩阵，先求出齐次线性方程组的基础解系 \(\xi_{1},\xi_{2},…,\xi_{n-r}(r(A)=r)\) ，再求出一个非齐次特解设为 \(\eta\) （求 \(\eta\) 时，可取自由未知量为任意值，取 0 值计算即可，代入方程，求得独立未知量，并得 \(\eta\) ）则 \(Ax=b\) 的通解为：
\(k_{1}\xi_{1}{1}+k_{2}\xi_{2}+…+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta\) ，其中 \(k_{1},k_{2},…,k_{n-r}\) 是任意常数。
什么是跳跃思维？跳跃思维是偷懒，是很有创造性，但是更容易产生漏洞。所以大多数的时候不要想着跳跃思维。跳跃的前提是熟练，如果不熟练，是万万不能跳跃的。
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