行列式与矩阵的区别与联系
- 区别
矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个代数和，当元素是数时，它是数，且行数必须等于列数。
两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要最后代数
和的结果一样就行了。两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加。
数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也是这样的。
矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能改变。
- 联系
- 当矩阵 \(A\) 和 \(B\) 是同阶方阵时，有 \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\) ，公式很简洁，要理解其中含义。
矩阵的概念及运算
概念（矩阵就是一个表格）
矩阵的运算
矩阵的运算规则
加法（同型矩阵可以相加）
数乘（乘以矩阵当中的每一个元素）
乘法（矩阵乘法，行与列各自相乘并相加，特别的 \(A^{k}\) A 是方阵就是做 k 次自乘运算） \((AB)C=A(BC)\)
\(A(B+C)=AB+AC\)
\((B+C)A=BA+CA\)
总的来说就是符和交换律但是不符和结合律。
转置（行与列互换） \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)
\((kA)^{T}=kA^{T}\)
\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\) （这个公式有点意思）
\((A^{T})^{T}=A\)
方阵的幂 \((A^{k})^{l}=A^{kl}\) , \(A^{k}A^{l}=A^{k+l}\)
\((A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2} \neq A_{2}+2AB+B^{2}\)
\((A+B)(A-B) = A^{2} - AB + BA - B^{2} \neq A^{2}-B^{2}\)
特殊矩阵
- 单位阵
- 数量阵 \(kE\)
- 对角阵（非对角元素都是 0)
- 反对称阵
- 正交阵（\(A^{T}A=AA^{T}=E\) 的矩阵称为正交阵，亦 \(A^{T}=A^{-1}\) ）
- 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵。这个不熟
- 行阶梯矩阵（底部为零行，主元所在列下面的元素都是 0 ）
- 行最简矩阵（所有主元为 1 的行阶梯矩阵）
伴随矩阵、可逆矩阵
概念
- 伴随矩阵（由代数余子式构成的矩阵）
- 逆矩阵（ \(AB=BA=E\) ，则 A 和 B 互为逆矩阵）
伴随矩阵重要公式
\(AA^{* }=A^{* }A=|A|E\)
\((A^{* })^{-1}=(A^{-1})^{* }=\frac{1}{|A|}A\) 条件为 \((|A| \neq 0)\)
\((A^{* })^{T}=(A^{T})^{* }\)
\((kA)^{* f}=k^{n-1}A^{* }\) 这个不知道是怎么来的。
\(|A^{* }|=|A|^{n-1}\) ； \((A^{* })^{* }=|A|^{n-2}A\) 在 \((n \geq 2)\)
伴随阵的秩与原阵秩的关系
\[ r(A^{*}) =\begin{cases} &n, r(A)=n, \\ &1, r(A)=n-1, \\ &0, r(A)<n-1 \end{cases} \]
n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件
- 存在 n 阶矩阵 \(B\) ，使 \(AB=E\) （或 \(BA=E\) ）
- \(|A| \neq 0\) ，或秩 \(r(A)=n\) ，或 \(A\) 的列（行）向量线性无关。
- 齐次方程组 \(Ax=0\) 只有零解
- \(\forall b\) ，非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 总有唯一解
- 矩阵 \(A\) 的特征值全不为 0 。
逆矩阵的运算性质
- 若 \(k \neq 0\) ，则 \((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
- 若 \(A,B\) 可逆，则 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 特别地 \((A^{2})^{-1}=(A^{-1})^{2}\);
- 若 \(A^{T}\) 可逆，则 \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\)
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)
- 即使 \(A,B\) 和 \(A+B\) 都可逆，一般地 \((A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}\)
求逆矩阵的方法
公式法 \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{* }\)
初等变换法 \((A|E)\xrightarrow{\text{elementary row transformation}}(E|A^{-1})\)
若 \(AB=E\) 或 \(BA=E\) ，则 \(A^{-1}=B\)
分块矩阵的公式 \[ \left [ \begin{matrix} B & O \\ O & C \end{matrix} \right ]^{-1}=\left [ \begin{matrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \end{matrix} \right ] \]
\[ \left [ \begin{matrix} O & B \\ C & O \end{matrix} \right ]^{-1}=\left [ \begin{matrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{matrix} \right ] \]
初等变换、初等矩阵
定义
- 初等变换（倍乘，互换、倍加）
- 初等矩阵：E 经过一次初等变换形成的矩阵
- 倍乘初等矩阵
- 互换初等矩阵
- 倍加初等矩阵
- 等价矩阵：经过有限次初等变换可成为一样的矩阵称之为初等矩阵，记作 \(A\cong B\) 若 \[ A\cong \left [ \begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O\end{matrix} \right ] \] ，则后者称为 \(A\) 的等价标准形。
初等矩阵与初等变换的性质
- 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
- 初等矩阵均是可逆阵，且其逆阵仍是同一类型的初等矩阵
- 用初等矩阵左乘（右乘）A ，相当于对 A 作相应的初等行（列）变换
- 当 A 是可逆阵时，则 A 可作一系列初等行变换化成单位阵，即存在初等矩阵 \(P_{1},P_{2}, … ,P_{N}\) ，使得 \(P_{N}…P_{2}P_{1}A=E\)
矩阵的秩
概念：北京理工大学课本的概念很清晰，矩阵 \(A\) 经初等变换化成的阶要梯形矩阵中非零行的数目称为矩阵 \(A\) 的秩，记为 \(r(A)\) ；经初等变换矩阵的秩不变；若 \(A\) 可逆，则 \(r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)\) 。
矩阵秩的公式
\(r(A)=r(A^{T})\) ; \(r(A^{T}A)=r(A)\) ，一个矩阵的转置左乘它自己，秩大小不发生变化。
\(k \neq 0, r(kA)=r(A)\) ； \(r(A+B) \leq r(A) + r(B)\) ； \(r(AB) \leq \min (r(A)+r(B))\)
\(r(AB) \leq min(r(A), r(B))\)
若 \(A\) 可逆，则 \(r(AB)=r(B)\) ， \(r(BA)=r(B)\)
若 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵，\(B\) 是 \(n\times s\) 矩阵，\(AB=O\) ，则 \(r(A)+r(B) \leq n\)
分块矩阵 \(r\left (\begin{array}{cc}A & O \\O & B \\ \end{array}\right)=r(A)+r(B)\)
分块矩阵
- 概念
- 运算
分块加法（没错，就是你想的那样）
分块乘法（没错，就是你想的那样，每个小块都可以看做是数字）
分块转置 \(\left [ \begin{matrix}A & B \\C & D\end{matrix} \right ]^{T}= \left [ \begin{matrix}A^{T} & C^{T} \\B^{T} & D^{T}\end{matrix} \right ]\)
对角 n 次方 \(\left [ \begin{matrix}B & O \\O & C\end{matrix} \right ]^{n}= \left [ \begin{matrix}B^{n} & O \\O & C^{n}\end{matrix} \right ]\)
对角可逆 \(\left[ \begin{matrix}B & O \\O & C\end{matrix} \right ]= \left [ \begin{matrix}B^{-1} & O \\O & C^{-1}\end{matrix} \right ]\) \(\left [ \begin{matrix}O & B \\C & O\end{matrix} \right ]^{-1}= \left [ \begin{matrix}O & C^{-1} \\B^{-1} & O\end{matrix} \right ]\)
从解的性质分析 \(AB=O\) ，A 是 \(m\times n\) ，B 是 \(n\times s\) 矩阵（齐次式）
若 \(AB=C\) ，则矩阵 \(AB\) 可由 \(B\) 的行向量线性表出；可由 \(A\) 的列向量线性表出。
例题分析
暂无，线性代数学起来真的抽象加头痛。光是概念、运算、公式就一大堆。