线性代数是对运算规则的一种归纳和研究，实际上这方面的研究极大的提高了并行计算的速度。可以通过电路模拟电路来提高运算速度。

概念

• n 阶行列式的概念（是所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积再乘以-1 的逆序数次方的代数和）行列式的结果是一个数。

• 行列式的性质

  • 经过转置不变
  • 两行（列）交换，行列式的值变号
  • 某行（列）有公因子 k ，则可把 k 提出行列式
    • 某行（列）全为 0 ，则行列式的值为 0
    • 某两行（列）的元素对应成比例，行列式的值为 0
  • 如果行列式是某行（列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和（变换中很有用）
  • 把某行（列）的 k 倍加到另一行（列），行列式的值不变（变换中很有用）

• 行列式按行（列）展开（n 阶行列式的值等于它的任何一行元素与其对应的代数余子式乘积之和）代数余子式为 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式。注意区分，逆序数和这个代数余子式的 \(i,j\)

• 几个重要公式

  • 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
  • 关于副对角线的行列式（就是上面的转置的情况） \((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}…a_{n1}\)
  • 两个特殊的拉普拉斯展开式（包含 \(|A|\cdot|B|\) 和 \((-1)^{mn}|A|\cdot|B|\)）
  • 范德蒙德行列式 (\(\prod\limits_{1 \leq j < i \leq n}(x_{i}-x_{j})\) )
  • 抽象 n 阶方阵行列式公式
    • 若 \(A\) 是 n 阶矩阵， \(A^{T}\) 是 \(A\) 的转置矩阵，则 \(|A^{T}|=|A|\)
    • 若 \(A\) 是 n 阶矩阵，则 \(|kA|=k^{n}|A|\)
    • 行列式乘法公式 \(|AB|=|A||B|\) （行列式的乘法很奇怪，很难理解，但请记住，可以写成表格的形式，减少可能的出错情况）
    • 若 \(A\) 是 n 阶矩阵， \(A^{*}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵，则 \(|A^{ *}|=|A|^{n-1}\) ，记住
    • 若 \(A\) 是 n 阶可逆矩阵， \(A^{-1}\) 是 \(A\) 的逆矩阵，则 \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
    • 若 \(A\) 是 n 阶矩阵， \(\lambda_{i}(i=1,2,…,n)\) 是 \(A\) 的特征值，则 \(|A|=\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}\) ；
    • 若矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似，即 \(A \sim B\) ，则 \(|A|=|B|\)
  • 代数余子式性质的补充
    • 行列式的任一行与另一行元素的代数余子式乘积之和为 0
    • 若 \(A\) 是 n 阶矩阵， \(A^{* }\) 是 \(A\) 的伴随矩阵，则： \(AA^{* } =A^{*}A=E\)

例题

• 数字型行列式的计算
• 抽象型行列式的计算
• 行列式是否为零的判定
• 关于代数余子式求和