二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵
一、二次型的概念
在 \(\mathbb{R}^{n}\) （每个元素是个实数 n 维向量）上的一个二次型是定义在 \(\mathbb{R}^{n}\) 上的函数，表达式为 \(Q(x)=x^{T}Ax\) ，其中 A 是一个 \(n \times n\) 对称矩阵（重点）。
最简单的一个二次型是 \(Q(x) = x^{T}Ix = ||x||^{2}\) , \(Q(x)\) 称为二次型 f 的对应矩阵。
化二次型为标准型、规范形、合同二次型
一、标准型的概念：若二次型 \(f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\) 只有平方项，没有混合项，即为标准型。
二、规范型的概念：若在标准型当中，平方项的系数只是 1, -1, 0 ，则称为二次型。 1 的个数是 p 个，-1 的个数是 q 个，0 的个数是 n-(p+q) 即 n-r 个。
三、化二次型为标准形，规范型
定理：对任意一个 n 元二次型 \(f(x_{1},x_{2},…,x_{n})=x^{T}Ax\) ，必存在正交变换 \(x=Qy\) ，其中 \(Q\) 是正交矩阵，化二次型为标准型，即：
\[f(x_{1},x_{2},…,x_{n})=x^{T}Ax \xlongequal {x=Cy}y^{T}Q^{T}AQy=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+…+\lambda_{n}y_{n}^{2}\]
其中 \(\lambda_{1},\lambda_{2},…,\lambda_{n}\) 是 \(A\) 的 n 个特征值。（\(\lambda_{i}\) 是 r 重特征值，则计为 r 个特征值）
定理：任一个 n 元二次型 \(f(x_{1},x_{2},…,x_{n})=x^{T}Ax\) ，都可以通过（配方法）可逆线性变换 \(x=Cy\) ，其中 C 是可逆阵，化为标准形。即： \[f(x_{1},x_{2},…,x_{n})=x^{T}Ax \xlongequal{x=Cy} y^{T}C^{T}ACy=d_{1}y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+…+d_{n}y_{n}^{2}\]
四、合同矩阵、合同二次型
合同的概念：设 A, B 是两个 n 阶方阵，若存在可逆阵 C ，使得 \(C^{T}AC=B\) ，则称 A 合同于 B 记成 \(A\simeq B\)
惯性定理：对某个二次型，作可逆线性变换化成标准形（或规范形），所作的可逆线性变换不唯一，标准型也不唯一，但其标准形中正平方项的项数 p ，负平方项的项数 q 都是由所绐二次型唯一确定的。
正平方项的项数 p 称为正惯性指数，负平方项的项数 q 称为负惯性指数，\(p+q=r\) 是二次型对应矩阵的秩， \(p-q\) 称为符号差。
这块不是很懂，可以单独看视频加深理解。
定理：实对称阵 A, B 合同的充要条件是：实对称阵 \(A\simeq B\) \(\Leftrightarrow x^{T}Ax\) 与 \(x^{T}Bx\) 有相同的正、负惯性指数。实对称阵 A,B 合同的必要条件是 A,B 有相同的秩，即 \(A\simeq B\) \(\Rightarrow\) \(r(A)=r(B)\)
正定二次型、正定矩阵
正定的定义：若对于任意的非零向量 \(x=[x_{1},x_{2},…x_{n}]^{T}\) ，恒有二次型大于 0 。则称之为正定二次型，其对应的矩阵是正定矩阵。
定理：可逆线性变换不改变不改变二次型的正定性
定理： f 正定的充要条件
\(f(x_{1},x_{2},…,x_{n})=x^{T}Ax\) 正定 \(\Leftrightarrow\) A 的正惯性指数 \(p=r=n\) （r 是 A 的秩，n 是未知量个数） \(A\simeq E\) ，即存在可逆阵 C ，使得 \(C^{T}AC=E\) \(\Leftrightarrow\) \(A=D^{T}D\) ，其中 D 是可逆阵 \(\Leftrightarrow\) A 的全部特征值 \(\lambda_{i}>0,i=1,2,…,n\) \(\Leftrightarrow\) A 的全部顺序子式大于零（即从左上角到右下角的子方阵大于零）
定理：\(f=x^{T}Ax\) 正定的必要条件
- A 的对角线元素 \(a_{ii}>0\)
- A 的行列式 \(|A|>0\)
目前第一遍概念公式的浏览结束了，第一遍的学习比较粗糙，后面还会做两遍题，并画一些思维导图。